restart;
with(LinearAlgebra):

# Define indeterminates

QParam := [q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,q8]:
PParam := Matrix([[p1],[p2],[p3],[p4],[p5],[p6],[p7],[p8],[p9],[p10],[p11]]):

# Special Fourier parameterization and inverse

F := Matrix([
[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1],
[1,-1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,1],
[1,0,-1,-1,0,1,1,-1,-1,0,1],
[1,1/3,-1/3,1/3,-1/3,-1,-1,1/3,-1/3,1/3,1],
[1,-1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,1],
[1,1/2,0,1/2,0,-1/2,1/2,-1/2,0,-1/2,-1],
[1,-1,1,0,0,0,0,0,-1,1,-1],
[1,0,-1,-1,0,1,-1,1,1,0,-1]]):

FI := Matrix([
[1/16,1/16,1/8,3/16,1/16,1/4,1/8,1/8],
[1/8,-1/8,0,1/8,-1/8,1/4,-1/4,0],
[1/16,1/16,-1/8,-1/16,1/16,0,1/8,-1/8],
[1/16,1/16,-1/8,1/16,-1/16,1/8,0,-1/8],
[1/4,-1/4,0,-1/4,1/4,0,0,0],
[1/16,1/16,1/8,-3/16,-1/16,-1/8,0,1/8],
[1/16,1/16,1/8,-3/16,-1/16,1/8,0,-1/8],
[1/16,1/16,-1/8,1/16,-1/16,-1/8,0,1/8],
[1/16,1/16,-1/8,-1/16,1/16,0,-1/8,1/8],
[1/8,-1/8,0,1/8,-1/8,-1/4,1/4,0],
[1/16,1/16,1/8,3/16,1/16,-1/4,-1/8,-1/8]]):

# List of polynomial parametrizations

P0 := [
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4+2*b0*b1*d1^3*f1^4*h0^5+2*b0*b1*d1^3*f1^4*h1^5+b1^2*d0^3*f0^4*h0^4*h1+b1^2*d0^3*f0^4*h0*h1^4+b1^2*d0^3*f0^3*f1*h0^5+3*b1^2*d0^3*f0^3*f1*h0^3*h1^2+3*b1^2*d0^3*f0^3*f1*h0^2*h1^3+b1^2*d0^3*f0^3*f1*h1^5+4*b1^2*d0^3*f0^2*f1^2*h0^4*h1+2*b1^2*d0^3*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+2*b1^2*d0^3*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+4*b1^2*d0^3*f0^2*f1^2*h0*h1^4+b1^2*d0^3*f0*f1^3*h0^5+3*b1^2*d0^3*f0*f1^3*h0^3*h1^2+3*b1^2*d0^3*f0*f1^3*h0^2*h1^3+b1^2*d0^3*f0*f1^3*h1^5+b1^2*d0^3*f1^4*h0^4*h1+b1^2*d0^3*f1^4*h0*h1^4+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h0^5+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h0^4*h1+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h0^3*h1^2+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h0^2*h1^3+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h0*h1^4+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h1^5+b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^5+6*b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^4*h1+5*b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^3*h1^2+5*b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^2*h1^3+6*b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0*h1^4+b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h1^5+2*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^5+4*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^4*h1+12*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+12*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+4*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0*h1^4+2*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h1^5+b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^5+6*b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^4*h1+5*b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^3*h1^2+5*b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^2*h1^3+6*b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0*h1^4+b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h1^5+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h0^5+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h0^4*h1+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h0^3*h1^2+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h0^2*h1^3+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h0*h1^4+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h1^5+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h0^5+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h0^4*h1+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h0^3*h1^2+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h0^2*h1^3+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h0*h1^4+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h1^5+b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^5+6*b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^4*h1+5*b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^3*h1^2+5*b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^2*h1^3+6*b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0*h1^4+b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h1^5+2*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^5+4*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^4*h1+12*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+12*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+4*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0*h1^4+2*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h1^5+b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^5+6*b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^4*h1+5*b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^3*h1^2+5*b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^2*h1^3+6*b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0*h1^4+b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h1^5+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h0^5+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h0^4*h1+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h0^3*h1^2+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h0^2*h1^3+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h0*h1^4+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h1^5+b1^2*d1^3*f0^4*h0^4*h1+b1^2*d1^3*f0^4*h0*h1^4+b1^2*d1^3*f0^3*f1*h0^5+3*b1^2*d1^3*f0^3*f1*h0^3*h1^2+3*b1^2*d1^3*f0^3*f1*h0^2*h1^3+b1^2*d1^3*f0^3*f1*h1^5+4*b1^2*d1^3*f0^2*f1^2*h0^4*h1+2*b1^2*d1^3*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+2*b1^2*d1^3*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+4*b1^2*d1^3*f0^2*f1^2*h0*h1^4+b1^2*d1^3*f0*f1^3*h0^5+3*b1^2*d1^3*f0*f1^3*h0^3*h1^2+3*b1^2*d1^3*f0*f1^3*h0^2*h1^3+b1^2*d1^3*f0*f1^3*h1^5+b1^2*d1^3*f1^4*h0^4*h1+b1^2*d1^3*f1^4*h0*h1^4
]:

# Substitutions based on the model

P := P0:
P := subs(b0 = 1-b1, P):
P := subs(d0 = 1-d1, P):
P := subs(f0 = 1-f1, P):
P := subs(h0 = 1-h1, P):

# Check that the polynomial parametrization lies in the probability simplex

suma := 0:
for i from 1 to nops(P) do
suma := suma + P[i]:
od:
normal(expand(suma));

# Ideal of Invariants in Fourier coordinates

Invariants := Matrix([
q3*q7-q2*q8,
q5*q6-q4*q7,
q3*q6-q1*q8,
q2*q6-q1*q7,
q2*q4-q1*q5]):

# Ideal of Invariants in probability coordinates

Fourier := MatrixMatrixMultiply(F,PParam):

PInvariants := Invariants:
for i from 1 to nops(QParam) do
PInvariants := subs(QParam[i] = Fourier[i, 1], PInvariants):
od:

# Evaluation of Invariants at the polynomial/rational parametrization

num := op(PInvariants[1,1..-1])[1]:
for j from 1 to num do
coordpoly := PInvariants[1, j]:
for i from 1 to op(PParam[1..-1,1])[1] do
coordpoly := subs(PParam[i, 1] = P0[i], coordpoly):
od:
coordpoly :=expand(coordpoly):
lprint(j,coordpoly);
od: